Seismic impedance inversion based on cycle-consistent generative adversarial network

• DOI：10.1016/j.petsci.2021.09.038
• 由于地震数据的短缺严重影响深度学习的方法和性能。该文提出一种基于cycleGAN的阻抗反演方式来提取未标记数据中包含的信息。

CAUC: Combining Channel Attention U-Net and Convolution for Seismic Data Resolution Improvement

• DOI：10.1109/LGRS.2023.3322263

• 地震分析和解释对数据分辨率很敏感。由于复杂的自然环境和有限的采集技术，原始地震数据分辨率通常较低。但地震子波的频率带宽是可调的，所以根据这些特征来提高数据的分辨率是可行的。本文提出了一种通道注意U-Net和物理卷积组合（CAUC）算法来增强地震数据的分辨率。

地震反演基本知识

基本概念

1. 地震数据

   波向地下传播时，由于地下结构不同导致地震波会反射回地表，通过在地表设置检波器收集到的波数据即为地震数据。

2. 速度模型

   在地震反演中，我们用速度模型来描述地下地质结构，不同的介质波的传播速度不一样，故而可以由速度模型反推介质成分。

3. 波阻抗（Impedance）

   波阻抗等于速度乘密度，波阻抗越大代表要产生单位振动速度所需的应力越大。

4. 反射系数

   反射系数代表地震波在地下不同介质界面上发生折射、反射的能量损失程度。计算公式为

   $$r_i = \frac{AI_{i+1} - AI_{i}}{AI_{i+1} + AI_i},\tag{1}$$

   其中$AI$代表波阻抗。

5. 地震褶积

   其实就是子波和反射系数进行卷积运算，一般是在时间域进行运算。本质是把反射系数序列作为一个函数，是地震波传播的数字信号模拟。可以理解为地震波在地下垂直传播过程，在经过不同界面时和反射系数进行叠加。

Deep-learning seismic full-waveform inversion for realistic structural models

• DOI: 10.1190/geo2019-0435.1

• 传统方法需要初始模型且计算量大，该文使用共炮点集合和共检波器集合进行特征提取，并进一步反演获得速度模型。

Mapping full seismic waveforms to vertical velocity profiles by deep learning

• DOI: 10.1190/geo2019-0473.1

• 传统方法大多尝试将完整数据映射为二维标签，这在处理复杂地下结构时存在局限性。该文利用CNNs学习共中心点道集（CMP）数据道一维速度记录的映射。

地震波阻抗反演实验

准备工作

数据集

• 我选用Convolutional neural network for seismic impedance inversion中的数据，其中包含2020道一维地震波以及波阻抗数据。

  正演参数为频率为30Hz的雷克子波，$\Delta t = 4.3875e-4$。图1中为数据集中的4道数据展示，其中波阻抗数据已进行缩放。

• 随后将这些数据集划分为500个验证集、500个测试集和1020个训练集。

InversionNet: An Efficient and Accurate Data-Driven Full Waveform Inversion

• DOI: 10.1109/TCI.2019.2956866

• 传统的FWI很贵且效率不高，本文提出了一种深度学习反演方法，利用神经网络（CNN）学习和预测地震速度和地下结构的关系构建地震速度模型。

SG-PML吸收边界条件（边界反射问题）

• 本文将对博文 波动方程的有限差分解（地震数据正演） 中提到的边界反射问题进行研究。解决地震正演中的边界反射带来的干扰。

  首先我们要知道波为什么会反射，当从一种介质进入另一种介质时，在介质边界由于阻抗的不连续性，导致一部分能量继续进入新的介质称为透射波，一部分能量返回原介质称为反射波。而我们将需要了解反射部分具体是多少，以及如何消除边界反射问题。

吸收边界条件

• 自然界中地震波传播到介质边界（中断层）时，界面的波阻抗出现差异导致波发生反射和透射，地球介质可以看作“无限大”的区域，但在模拟计算中受到计算量的限制，模拟的传播区域大小是由界限的，这个人为截取的区域便是人工边界。

  在人工边界处，边界外的波速可以看为0，即边界反射系数绝对值为1，此时表现在数值模拟中便产生了全反射现象，对地震正演中的波场计算将产生影响。此时我们需要引入吸收边界的概念来吸收掉这些传播至边界的波。

• 吸收边界条件即人为的在模拟计算区域的边界处设置一定厚度的吸收层，让能量在吸收层呈指数曲线衰减，最终在吸收层边界处近似衰减到0而避免边界反射。

  注意这里我们的衰减函数也是有讲究的，因为如果衰减不够连续的话吸收层也将看成断层产生反射，虽然这里使用指数曲线进行衰减，但是实际模拟时还是会产生一定量的反射波。

波动方程的有限差分解（地震数据正演）

有限差分法

• 有限差分法是一种求解微分方程的数值方法，对于微分方程来说微分项很难处理，有限差分的思路便是用近似的方法处理微分项，例如对于一个一阶微分方程

  $$\begin{aligned} u^{'}(x) + c(x)u(x) &= f(x)\\ u(a) &= d \end{aligned}\tag{1}$$

  由导数定义有

  $$u^{'}(x) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x) - u(x)}{\Delta x} \approx \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \tag{2}$$

  这里的几何意义便是使用割线斜率近似替代切线斜率，显然$\Delta x$越小则越精确，在后续求解中，我们将$\Delta x$记为步长。

  由此在求解时我们要对求解区域进行离散化，即将区间按步长分为一个个离散点。设对于区间$[a,b]$共分为$n$个区间，步长为$h$，坐标为${(x_0, u_0), (x_1, u_1),\dots, (x_n,u_n)}$，则我们可以得到各点处导数值得近似表示

  $$u_i^{'} = \frac{1}{h}(u_{i+1}- u_i)\tag{3}$$

  带入原方程得

  $$(u_{i+1} - u_i)/h + c(x_i)u_i = f(x_i)$$

  其中$x_i = a+ih, i=0,1,2,\dots$，则我们有$n$个方程$(i=0,1,\dots,n-1)$，包含$n$个未知数$(u_1,u_2,\dots,u_n)$。此时我们对方程变形得到

  $$u_{i+1} = (1-hc(x_i))u_i + hf(x_i)\tag{4}$$

  则上述方程组可写为矩阵的形式

  $$\begin{bmatrix} 1&&&\\ C_1&1&&\\ &\ddots&\ddots&\\ &&c_{n-1}&1 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ \vdots\\ n_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} hf(x_0)\\ hf(x_1)\\ \vdots\\ hf(x_{n-1}) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} C_0u_0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\tag{5}$$

  其中$C_i = hc(x_i)-1$，上述矩阵方程记为$\mathbf{A}\boldsymbol{u} = \mathbf{F}$，则解为$\boldsymbol{u} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{F}$（这里显然$r(\mathbf{A}) = n$即可逆）。