• DOI：10.1007/s00466-025-02600-w

• 全波形反演（FWI）是一种强大的工具，能够基于波传播获得的稀疏测量数据来重建物质场。对于特定问题，使用神经网络（NN）对物质场进行离散化可以提高相应优化问题的鲁棒性和重建质量。本文将这种方法称为基于神经网络的FWI。从初始预测开始，迭代更新神经网络的权重，以使模拟的波形信号与稀疏测量数据集相拟合。对于基于梯度的优化，选择合适的初始预测（即合适的神经网络权重初始化）对于实现快速且稳健的收敛至关重要。

  本文提出了一种新颖的迁移学习方法，以进一步改进基于神经网络的FWI。该方法利用监督预训练来提供更好的神经网络权重初始化，从而加快后续优化问题的收敛速度。此外，反演结果还能得到物理上更有意义的局部最小值。网络被预训练以使用传统FWI第一次迭代中的梯度信息来预测未知的物质场。在二维域计算实验中，训练数据集由具有任意位置、不同形状和方向的椭圆形空洞的参考模拟组成。

  本文将所提出的迁移学习基于神经网络的FWI与另外三种方法进行了性能比较：传统FWI、未进行预训练的基于神经网络的FWI，以及使用预训练神经网络预测的初始猜测的传统FWI。结果表明，迁移学习基于神经网络的FWI在收敛速度和重建质量方面均优于其他方法。

• DOI: 10.1109/TGRS.2021.3135790

• FWI的成功强依赖于一个准确的初始模型，在弹性体制下尤为重要——由于S-波波长较短，弹性FWI中的周期跳跃现象比声波FWI更严重。本文中，作者通过提出合成多分量弹性低频地震记录，并将这些“人工” 低频数据作为弹性FWI的频率扫描种子，进一步扩展了外推弹性FWI的工作。作者的方案包含深度学习——可以在两个训练数据集上训练同一个卷积神经网络（CNN），一个是粒子速度的垂直分量，另一个是水平分量，或将两个分量放在一起训练，以推断2D 弹性 FWI的低频弹性数据。CNN架构通过空洞卷积获得大感受野。在Marmousi2上的实验表明从$4$ Hz 以上的带限（band-limited）数据推断出的 $2-4$ Hz 低频数据为P波和S波速度的弹性 FWI 提供了良好的初始模型。 此外，我们还研究了网络从声波数据到弹性数据的泛化能力，在弹性测试数据上， 通过弹性模拟收集训练数据集比声学模拟显示出更好的外推精度，即更小的泛化差距。

• DOI：10.1016/j.petsci.2021.09.038
• 由于地震数据的短缺严重影响深度学习的方法和性能。该文提出一种基于cycleGAN的阻抗反演方式来提取未标记数据中包含的信息。

• DOI：10.1109/LGRS.2023.3322263

• 地震分析和解释对数据分辨率很敏感。由于复杂的自然环境和有限的采集技术，原始地震数据分辨率通常较低。但地震子波的频率带宽是可调的，所以根据这些特征来提高数据的分辨率是可行的。本文提出了一种通道注意U-Net和物理卷积组合（CAUC）算法来增强地震数据的分辨率。

基本概念

1. 地震数据

   波向地下传播时，由于地下结构不同导致地震波会反射回地表，通过在地表设置检波器收集到的波数据即为地震数据。

2. 速度模型

   在地震反演中，我们用速度模型来描述地下地质结构，不同的介质波的传播速度不一样，故而可以由速度模型反推介质成分。

3. 波阻抗（Impedance）

   波阻抗等于速度乘密度，波阻抗越大代表要产生单位振动速度所需的应力越大。

4. 反射系数

   反射系数代表地震波在地下不同介质界面上发生折射、反射的能量损失程度。计算公式为

   $$r_i = \frac{AI_{i+1} - AI_{i}}{AI_{i+1} + AI_i},\tag{1}$$

   其中$AI$代表波阻抗。

5. 地震褶积

   其实就是子波和反射系数进行卷积运算，一般是在时间域进行运算。本质是把反射系数序列作为一个函数，是地震波传播的数字信号模拟。可以理解为地震波在地下垂直传播过程，在经过不同界面时和反射系数进行叠加。

• DOI: 10.1190/geo2019-0435.1

• 传统方法需要初始模型且计算量大，该文使用共炮点集合和共检波器集合进行特征提取，并进一步反演获得速度模型。

准备工作

构建致密层、断层和盐体模型

• 由于数据驱动的特性，DL方法的性能很大程度取决于训练数据。合理的模型设计可以帮助神经网络更有可能应用于现实情况。

  该文提出了一种设计致密层、断层和盐体模型的新方案。

• 要设计一个带有断层或盐体的致密层模型，首先要生成一个致密层结构模型，再在上面随机添加断层结构。对于致密层模型来说，难点在于如何在有限的深度和勘探分辨率下确保每一层的连续性和可变性，增加地下介质的数量。我们按照以下步骤生成致密层模型：

  1. 随机生成一条曲线作为模型的第一个界面。
  2. 通过上界面进行调整，迭代生成曲线，以确保两个相邻界面之间不会发生剧烈变化并保持逼真。
  3. 将P-波速度值填充到两个相邻面之间的介质中，遵循较深介质对应较大速度值的标准。

• 该文的反演模型大小设定为100x100。在模型四周边界有一个额外的20网格吸收边界。

  作者定义了由多个三角方程和线性方程形成的函数来生成连续、波动和复杂的曲线。

  $$\begin{aligned} y &= y_1 + y_2 + y_3,\\ y_1 &= a_1 \sin\left(\frac{x}{2\pi T_1} + \theta_1\right) + a_2(\sin\left(\frac{x}{2\pi T_2} + \theta_2\right))^2,\\ y_2 &= a_3(\sin\left(\frac{x}{2\pi T_3}+\theta_3\right))^i, i = 1,2,3,\\ y_3 &= r\times x + c_0, \end{aligned}\tag{1}$$

  其中$a_j, T_j$和$\theta_j$为不同三角方程的参数，$r$和$c$分别控制界面倾斜和深度的常数。

  该文设$a_1>a_2>a_3$且$T_1<T_2<T_3$，随机选定$\theta_s$。这使得$y_1$是曲线主导部分，为了让两个相邻层之间趋势相似，与前一个界面相比，应该调整每个界面的$y_1$。$y_2$在每个界面上单独选取$i$。$y_c$通过$c,r$来控制深度和倾斜。

  最终可以获得如图1所示的各个曲线。

• 同时，为了削弱三角函数引起的曲线平滑性，作者还在每条曲线中选择了一些离散点，通过这些点来重新生成新的曲线使模型更逼真。

• P-波速度的设定范围为$[1500, 4000]\ m/s$。根据真实地球介质的固结效应（consolidation effect），每层的速度设置应随着深度增加而增加。该文中将相邻层的速度差设置为大于$200\ m/s$，根据最大波速$v_{\mathrm{max}}$、上一层介质波速$v_{\mathrm{upper}}$、下一层介质数量$\mathrm{ln}$和随机项$r$得到每层介质的速度范围为：

  $$\left[200, r\times \frac{v_{\mathrm{max}} - v_{\mathrm{upper}}}{\mathrm{ln}}\right]\tag{2}$$

• 在致密性模型的基础上，对于断层按照图3操作生成

  对于移动部分的每个点$[h_0, w_0]$，最新位置$[h_{*}, w_{*}]$可以通过如下方程计算得到

  $$[h_{*}, w_{*}] = [h_0+\Delta h, w_0\pm ((h_0+\Delta h)-l(h_0))].\tag{3}$$

  其中$\Delta h$为垂直方向的移动距离，$l(x)$为断层线的方程。同时还需要注意，边界处的速度值将丢失并需要进行填充。

• 盐体可以被视为从底部向上上升的致密地层，同时盐体还会随着流入上层而波动。作者使用高斯函数来模拟逐渐波动：

  $$f(x) = ae^{-(x-b)^2/2c^2}, \tag{4}$$

  其中$a,b$和$c$分别代表振幅、中心值和标准差。为了模拟盐体对致密层的影响，较深的层具有较大的形变。

  如图4所示，原始分层模型根据这组高斯曲线波动模拟盐体的入侵影响，最后通过随机参数的抛物线设计了一个新的岩体，其波速范围为$[4400, 4500] m/s$。

• 作者通过该方法生成了$18\,000$组模型（每种类型$6\,000$个）用于网络训练。

• DOI: 10.1190/geo2019-0473.1

• 传统方法大多尝试将完整数据映射为二维标签，这在处理复杂地下结构时存在局限性。该文利用CNNs学习共中心点道集（CMP）数据道一维速度记录的映射。

地震资料

• 在地震数据采集中，采用等距放置震源和接收器可以均衡地下照明，使其更容易采用常规叠加程序处理。同时取样一般采用定期采样，指定区域中间的共中心点（CMP）的可用偏移集通常是相同的，这意味着对于不同CMP可以使用相同方式估计速度分布。

准备工作

数据集

• 我选用Convolutional neural network for seismic impedance inversion中的数据，其中包含2020道一维地震波以及波阻抗数据。

  正演参数为频率为30Hz的雷克子波，$\Delta t = 4.3875e-4$。图1中为数据集中的4道数据展示，其中波阻抗数据已进行缩放。

• 随后将这些数据集划分为500个验证集、500个测试集和1020个训练集。

• DOI: 10.1109/TCI.2019.2956866

• 传统的FWI很贵且效率不高，本文提出了一种深度学习反演方法，利用神经网络（CNN）学习和预测地震速度和地下结构的关系构建地震速度模型。

背景

物理驱动技术

• 时域中的声波方程为

  $$\left[\frac{1}{K(\boldsymbol{r})}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla\cdot\left(\frac{1}{\rho(\boldsymbol{r})}\nabla\right)\right]p(\boldsymbol{r},t) = s(\boldsymbol{r},t)\tag{1}$$

  其中$\boldsymbol{r}$是位置向量，$\rho$代表密度，$K$是体积模量，$s$代表震源，$p$为压力波场，$t$为时间。正演表示为

  $$P = f(\boldsymbol{y})\tag{2}$$

  其中$P$代表波场位移，$f$代表正演操作，$\boldsymbol{y}$代表速度模型向量（密度和波速）。使用时域交错网格有限差分来求解。同时本文只关注恒定密度+弹性介质的情况。

• 对于反演，便可以看成一个优化问题，最小化目标函数

  $$E(\boldsymbol{y}) = \min\limits_{\boldsymbol{y}}\left\{\lVert\boldsymbol{x} - f(\boldsymbol{y})\rVert_2^2 + \lambda R(\boldsymbol{y})\right\}\tag{3}$$

  其中$x$代表真实记录的数据，$f(\boldsymbol{y})$代表正演结果，$\lVert\cdot\rVert_2$代表L2范式，$\lambda$是正则化惩罚参数，$R(y)$为正则项，常用Tikhonov正则项（总方差正则化、岭回归、TV）

  $$E(\boldsymbol{y}) = \min\limits_{\boldsymbol{y}}\left\{\lVert\boldsymbol{x} - f(\boldsymbol{y})\rVert_2^2 + \lambda \lVert H\boldsymbol{y}\rVert_2^2\right\}\tag{4}$$

  其中$H$为高通滤波矩阵或单位矩阵。TV正则项为L2正则项，非常适合平滑模型。

• 最终添加TV正则项的目标函数为

  $$E(\boldsymbol{y}) = \min\limits_{\boldsymbol{y}}\left\{\lVert\boldsymbol{x} - f(\boldsymbol{y})\rVert_2^2 + \lambda \lVert\boldsymbol{y}\rVert_{\mathrm{TV}}\right\}\tag{5}$$

  其中在2维模型中正则项为

  $$\lVert\boldsymbol{y}\rVert_{\mathrm{TV}} = \sum_{1\le i,j\le n}{\sqrt{\lvert (\nabla_x \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert^2 + \lvert(\nabla_z \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert^2}}\tag{6}$$

  其中$\lvert (\nabla_x \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert = m_{i+1,j} - m_{i,j},\ \lvert (\nabla_z \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert = m_{i,j+1} - m_{i,j}$代表网格点$(i,j)$处的方向导数。

• 后面还介绍了对于正则化参数$\lambda$的大小分析，以及MTV正则化技术，并且指出FWI基于梯度优化方案，成本高且对于小型结构的分辨率不够好。

• 本文将对博文 波动方程的有限差分解（地震数据正演） 中提到的边界反射问题进行研究。解决地震正演中的边界反射带来的干扰。

  首先我们要知道波为什么会反射，当从一种介质进入另一种介质时，在介质边界由于阻抗的不连续性，导致一部分能量继续进入新的介质称为透射波，一部分能量返回原介质称为反射波。而我们将需要了解反射部分具体是多少，以及如何消除边界反射问题。

吸收边界条件

• 自然界中地震波传播到介质边界（中断层）时，界面的波阻抗出现差异导致波发生反射和透射，地球介质可以看作“无限大”的区域，但在模拟计算中受到计算量的限制，模拟的传播区域大小是由界限的，这个人为截取的区域便是人工边界。

  在人工边界处，边界外的波速可以看为0，即边界反射系数绝对值为1，此时表现在数值模拟中便产生了全反射现象，对地震正演中的波场计算将产生影响。此时我们需要引入吸收边界的概念来吸收掉这些传播至边界的波。

• 吸收边界条件即人为的在模拟计算区域的边界处设置一定厚度的吸收层，让能量在吸收层呈指数曲线衰减，最终在吸收层边界处近似衰减到0而避免边界反射。

  注意这里我们的衰减函数也是有讲究的，因为如果衰减不够连续的话吸收层也将看成断层产生反射，虽然这里使用指数曲线进行衰减，但是实际模拟时还是会产生一定量的反射波。