准备工作

数据集

• 我选用Convolutional neural network for seismic impedance inversion中的数据，其中包含2020道一维地震波以及波阻抗数据。

  正演参数为频率为30Hz的雷克子波，$\Delta t = 4.3875e-4$。图1中为数据集中的4道数据展示，其中波阻抗数据已进行缩放。

• 随后将这些数据集划分为500个验证集、500个测试集和1020个训练集。

• DOI: 10.1109/TCI.2019.2956866

• 传统的FWI很贵且效率不高，本文提出了一种深度学习反演方法，利用神经网络（CNN）学习和预测地震速度和地下结构的关系构建地震速度模型。

背景

物理驱动技术

• 时域中的声波方程为

  $$\left[\frac{1}{K(\boldsymbol{r})}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla\cdot\left(\frac{1}{\rho(\boldsymbol{r})}\nabla\right)\right]p(\boldsymbol{r},t) = s(\boldsymbol{r},t)\tag{1}$$

  其中$\boldsymbol{r}$是位置向量，$\rho$代表密度，$K$是体积模量，$s$代表震源，$p$为压力波场，$t$为时间。正演表示为

  $$P = f(\boldsymbol{y})\tag{2}$$

  其中$P$代表波场位移，$f$代表正演操作，$\boldsymbol{y}$代表速度模型向量（密度和波速）。使用时域交错网格有限差分来求解。同时本文只关注恒定密度+弹性介质的情况。

• 对于反演，便可以看成一个优化问题，最小化目标函数

  $$E(\boldsymbol{y}) = \min\limits_{\boldsymbol{y}}\left\{\lVert\boldsymbol{x} - f(\boldsymbol{y})\rVert_2^2 + \lambda R(\boldsymbol{y})\right\}\tag{3}$$

  其中$x$代表真实记录的数据，$f(\boldsymbol{y})$代表正演结果，$\lVert\cdot\rVert_2$代表L2范式，$\lambda$是正则化惩罚参数，$R(y)$为正则项，常用Tikhonov正则项（总方差正则化、岭回归、TV）

  $$E(\boldsymbol{y}) = \min\limits_{\boldsymbol{y}}\left\{\lVert\boldsymbol{x} - f(\boldsymbol{y})\rVert_2^2 + \lambda \lVert H\boldsymbol{y}\rVert_2^2\right\}\tag{4}$$

  其中$H$为高通滤波矩阵或单位矩阵。TV正则项为L2正则项，非常适合平滑模型。

• 最终添加TV正则项的目标函数为

  $$E(\boldsymbol{y}) = \min\limits_{\boldsymbol{y}}\left\{\lVert\boldsymbol{x} - f(\boldsymbol{y})\rVert_2^2 + \lambda \lVert\boldsymbol{y}\rVert_{\mathrm{TV}}\right\}\tag{5}$$

  其中在2维模型中正则项为

  $$\lVert\boldsymbol{y}\rVert_{\mathrm{TV}} = \sum_{1\le i,j\le n}{\sqrt{\lvert (\nabla_x \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert^2 + \lvert(\nabla_z \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert^2}}\tag{6}$$

  其中$\lvert (\nabla_x \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert = m_{i+1,j} - m_{i,j},\ \lvert (\nabla_z \boldsymbol{y})_{i,j}\rvert = m_{i,j+1} - m_{i,j}$代表网格点$(i,j)$处的方向导数。

• 后面还介绍了对于正则化参数$\lambda$的大小分析，以及MTV正则化技术，并且指出FWI基于梯度优化方案，成本高且对于小型结构的分辨率不够好。

• 卷积神经网络（Convolutional Neural Networks, CNN）是深度学习中一种重要的神经网络结构，特别适用于处理图像相关的机器学习问题。CNN通过模拟人脑视觉皮层对图像的处理机制，自动提取图像中的特征，从而实现对图像的识别和理解。

  在传统的MLP中，网络被简单的分为了表现层（特征提取）和决策层（输出），而在CNN中网络被进一步细分，以便能够更好的提取图像中的局部特征，具体分层结构为

  1. 输入层：输入信息；
  2. 卷积层：提取图像底层特征；
  3. 池化层：减少数据维度，防止过拟合；
  4. 全连接层：汇总图像底层特征和信息；
  5. 输出层：根据输入进行决策输出预测值。